今天看到的一道题,是某省某年数学竞赛二试某题.感觉挺好玩.
感谢wind牛讲解做法.

题目如下:
在三维空间的每一个点上分别涂1~5五种颜色中的一种,保证每种颜色至少有一个点被涂色.求证:一定存在一个平面,上面至少有四种不同颜色的点.

使用反证法是很显然的,那么怎么反证呢?
反白看答案(按下Ctrl+A).

假设每个平面上都至多有三种颜色的点.
首先,找到任意三个点A,B,C,使得它们分别涂有颜色1,2,3.显然它们三个共平面.
接下来,找到两个点D和E,分别涂有颜色4和5.这样,DEA所在平面与ABC所在平面(显然这两个平面不是同一个平面,因为如果这样,ABCDE已经是五种颜色了)的交线(因为它们有交点A,所以一定有交线)的交线上的点必定全部涂有颜色1.同理,平面DEB与平面ABC的交线上的点都是颜色2,平面DEC与平面ABC的交线上的点都是颜色3.
如果三条交线不两两平行,那么很显然我们可以发现两条交线的交点处的点需要同时被涂上两种颜色.那么,三条交线必定两两平行.
这样,我们做一条直线与三条交线都相交.这条直线上已经有了1,2,3三种颜色的点,只需要考虑这条直线与D构成的平面,这个平面上有四种颜色的点,与假设矛盾.

接下来考虑:是不是一定存在一个平面包含五种颜色的点呢?
这个问题实际上比上一个容易得多,答案见下(反白看):

显然这个命题是错误的.
我们可以把空间里除了ABCD四个点外的所有点都涂成颜色5,而这四个点分别涂成颜色1,2,3,4.这样,只要ABCD四点不共面,就不存在包含五种颜色的平面了.

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