NOIP 2008 第四题 双栈排序(twostack) 题解

这可能是第一份正确的完整题解.

这个帖子: http://www.oibh.org/bbs/thread-26983-1-2.html 是此算法的来源,但是帖子中说的不是很清楚,而且没有证明.题解中将把这些问题解决.
十分感谢inzaghi250(sqybi注:还好我不是inzaghi的fans…)提供的算法.

这道题大概可以归结为如下题意:
有两个队列和两个栈,分别命名为队列1(q1),队列2(q2),栈1(s1)和栈2(s2).最初的时候,q2,s1和s2都为空,而q1中有n个数(n<=1000),为1~n的某个排列.
现在支持如下四种操作:
a操作,将 q1的首元素提取出并加入s1的栈顶.
b操作,将s1的栈顶元素弹出并加入q1q2的队列尾.
c操作,将 q1的首元素提取出并加入s2的栈顶.
d操作,将s2的栈顶元素弹出并加入q1q2的队列尾.
请判断,是否可以经过一系列操作之后,使得q2中依次存储着1,2,3,…,n.如果可以,求出字典序最小的一个操作序列.

这道题的错误做法很多,错误做法却能得满分的也很多,这里就不多说了.直接切入正题,就是即将介绍的这个基于二分图的算法.
注意到并没有说基于二分图匹配,因为这个算法和二分图匹配无关.这个算法只是用到了给一个图着色成二分图.

第一步需要解决的问题是,判断是否有解.

考虑对于任意两个数q1[i]和q1[j]来说,它们不能压入同一个栈中的充要条件是什么(注意没有必要使它们同时存在于同一个栈中,只是压入了同一个栈).实际上,这个条件p是:存在一个k,使得i<j<k且q1[k]<q1[i]<q1[j].

首先证明充分性,即如果满足条件p,那么这两个数一定不能压入同一个栈.这个结论很显然,使用反证法可证.
假设这两个数压入了同一个栈,那么在压入q1[k]的时候栈内情况如下:
…q1[i]…q1[j]…
因为q1[k]比q1[i]和q1[j]都小,所以很显然,当q1[k]没有被弹出的时候,另外两个数也都不能被弹出(否则q2中的数字顺序就不是1,2,3,…,n了).
而之后,无论其它的数字在什么时候被弹出,q1[j]总是会在q1[i]之前弹出.而q1[j]>q1[i],这显然是不正确的.

接下来证明必要性.也就是,如果两个数不可以压入同一个栈,那么它们一定满足条件p.这里我们来证明它的逆否命题,也就是"如果不满足条件p,那么这两个数一定可以压入同一个栈."
不满足条件p有两种情况:一种是对于任意i<j<k且q1[i]<q1[j],q1[k]>q1[i];另一种是对于任意i<j,q1[i]>q1[j].
第一种情况下,很显然,在q1[k]被压入栈的时候,q1[i]已经被弹出栈.那么,q1[k]不会对q1[j]产生任何影响(这里可能有点乱,因为看起来,当q1[j]<q1[k]的时候,是会有影响的,但实际上,这还需要另一个数r,满足j<k<r且q1[r]<q1[j]<q1[k],也就是证明充分性的时候所说的情况…而事实上我们现在并不考虑这个r,所以说q1[k]对q1[j]没有影响).
第二种情况下,我们可以发现这其实就是一个降序序列,所以所有数字都可以压入同一个栈.
这样,原命题的逆否命题得证,所以原命题得证.

此时,条件p为q1[i]和q1[j]不能压入同一个栈的充要条件也得证.

这样,我们对所有的数对(i,j)满足1<=i<j<=n,检查是否存在i<j<k满足p1[k]<p1[i]<p1[j].如果存在,那么在点i和点j之间连一条无向边,表示p1[i]和p1[j]不能压入同一个栈.此时想到了什么?那就是二分图~
二分图的两部分看作两个栈,因为二分图的同一部分内不会出现任何连边,也就相当于不能压入同一个栈的所有结点都分到了两个栈中.
此时我们只考虑检查是否有解,所以只要O(n)检查出这个图是不是二分图,就可以得知是否有解.

此时,检查有解的问题已经解决.接下来的问题是,如何找到字典序最小的解.
实际上,可以发现,如果把二分图染成1和2两种颜色,那么结点染色为1对应当前结点被压入s1,为2对应被压入s2.为了字典序尽量小,我们希望让编号小的结点优先压入s1.
又发现二分图的不同连通分量之间的染色是互不影响的,所以可以每次选取一个未染色的编号最小的结点,将它染色为1并从它开始DFS染色,直到所有结点都被染色为止.这样,我们就得到了每个结点应该压入哪个栈中.接下来要做的,只不过是模拟之后输出序列啦~

还有一点小问题,就是如果对于数对(i,j),都去枚举检查是否存在k使得p1[k]<p1[i]<p1[j]的话,那么复杂度就升到了O(n^3).解决方法就是,首先预处理出数组b,b[i]表示从p1[i]到p1[n]中的最小值.接下来,只需要枚举所有数对(i,j),检查b[j+1]是否小于p1[i]且p1[i]是否小于p1[j]就可以了.

附代码(除去注释不到100行),带注释.代码中的a数组对应文中的队列p1.
已经过掉所有标准数据,以及5 7 2 4 1 6 3这组让很多贪心程序挂掉的数据~

xpycc  November 29th, 2008 at 09:24

这位大牛不妨试试以下数据:
1000
2 3 4 5 ... 1000 1
对于这组数据 MS 您的程序崩溃了……

原因是这组数据中无向边的条数为 999*999 ,而您的内存只申请了 1002*2 。

sqybi  November 29th, 2008 at 11:29

@xpycc
嗯...程序貌似是有bug的...
而且判无解的地方貌似也有问题...

#include 
 
using namespace std;
 
const int nn = 1002, mm = nn * 2, inf = 1000000000;
int n, tot, now;
int a[nn], b[nn], head[nn], color[nn];
int adj[mm], next[mm];
int stack[3][nn];
bool result;
 
void addEdge(int x, int y) //加边
{
    ++ tot;
    adj[tot] = y;
    next[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}
 
bool dfs(int i) //DFS染色,检查图是否是二分图的经典算法
{
    int temp = head[i];
    while (temp) //邻接表,检查每一条边
    {
        if (! color[adj[temp]]) //如果与当前结点的结点还未染色
        {
            color[adj[temp]] = 3 - color[i]; //进行染色
            dfs(adj[temp]); //DFS
        }
        if (color[adj[temp]] == color[i]) return false;
            //如果两个相邻结点染色相同,说明此图不是二分图,返回无解
        temp = next[temp];
    }
    return true;
}
 
int main()
{
    freopen("twostack.in", "r", stdin);
    freopen("twostack.out", "w", stdout);
 
    //输入
    scanf("%d", &amp;n);
    for (int i = 1; i &lt;= n; ++ i) scanf("%d", &amp;a[i]);
 
    //预处理b数组
    b[n + 1] = inf;
    for (int i = n; i &gt;= 1; -- i) b[i] = min(b[i + 1], a[i]); //"min" in STL
 
    //枚举数对(i,j)并加边
    tot = 0;
    for (int i = 1; i &lt;= n; ++ i)
        for (int j = i + 1; j &lt;= n; ++ j)
            if (b[j + 1] &lt; a[i] &amp;&amp; a[i] &lt; a[j])
            {
                addEdge(i, j);
                addEdge(j, i);
            }
 
    //DFS染色
    memset(color, 0, sizeof(color));
    result = true;
    for (int i = 1; i &lt;= n; ++ i) //每次找当前未染色的编号最小的结点,并染颜色1
        if (! color[i]) //当前位置尚未被染色
        {
            color[i] = 1;
            if (! dfs(i)) //染色时出现矛盾,此时图不是一个二分图,即无法分配到两个栈中
            {
                result = false; //记录无解
                break;
            }
        }
 
    if (! result) //无解
        printf("0");
    else //有解
    {
        //模拟求解
        now = 1;
        for (int i = 1; i &lt;= n; ++ i)
        {
            //将当前数字压入对应的栈
            if (color[i] == 1)
                printf("a ");
            else
                printf("c ");
            stack[color[i]][0] ++;
            stack[color[i]][stack[color[i]][0]] = a[i]; //this will work even if stack[1][0] = 0
 
            //循环检查,如果可以的话就从栈顶弹出元素
            while (stack[1][stack[1][0]] == now || stack[2][stack[2][0]] == now)
            {
                if (stack[1][stack[1][0]] == now)
                {
                    printf("b ");
                    stack[1][0] --;
                }
                else if (stack[2][stack[2][0]] == now)
                {
                    printf("d ");
                    stack[2][0] --;
                }
                now ++;
            }
        }
    }
}

23 Comments

  1. 吴豪 — 2008-11-16 @ 17:22:44 Reply to this comment

    赞,考试的时候没来得及考虑这么深入。。。


  2. _gXX — 2008-11-16 @ 17:31:35 Reply to this comment

    赞美sqybi大牛!
    我就挂这题上……


  3. zch — 2008-11-16 @ 18:42:54 Reply to this comment

    赞一个,考试时觉得这是二分图,又觉得NOIP考二分图太扯了,就没细想


  4. RoMax — 2008-11-16 @ 18:49:05 Reply to this comment

    赞sqybi


  5. sqybi — 2008-11-16 @ 18:59:32 Reply to this comment

    @zch
    神牛...


  6. Thity — 2008-11-16 @ 19:17:56 Reply to this comment

    赞几下.


  7. Wandsea — 2008-11-16 @ 20:41:45 Reply to this comment

    @SQYBI
    神牛...


  8. 吴豪 — 2008-11-16 @ 22:02:57 Reply to this comment

    - -|| 有鸭梨中学的人说是错的。。。


  9. sqybi — 2008-11-16 @ 22:42:10 Reply to this comment

    @吴豪
    then?反例呢...


  10. sweet — 2008-11-17 @ 19:03:02 Reply to this comment

    @吴豪
    鸭梨中学??雅礼吧……汗一个


  11. sqybi — 2008-11-17 @ 19:18:01 Reply to this comment

    @sweet
    囧 那是故意的...
    据证实 鸭梨中学那个是误会...


  12. huyue — 2008-11-17 @ 21:43:22 Reply to this comment

    a操作,将 q1的首元素提取出并加入s1的栈顶.
    b操作,将s1的栈顶元素弹出并加入q1的队列尾.
    c操作,将 q1的首元素提取出并加入s2的栈顶.
    d操作,将s2的栈顶元素弹出并加入q1的队列尾.
    请判断,是否可以经过一系列操作之后,使得q2中依次存储着1,2,3,…,n.如果可以,求出字典序最小的一个操作序列.
    这个是笔误吧 是加入q2的队尾


  13. huyue — 2008-11-17 @ 21:47:07 Reply to this comment

    很好很强大 个方法的确是正确的 另外 的确数据太弱可以贪心过100.......


  14. sqybi — 2008-11-17 @ 21:53:12 Reply to this comment

    @huyue
    的确笔误了...感谢提醒 已经更正


  15. WhiteStar — 2008-11-20 @ 16:44:02 Reply to this comment

    冏啊..NOIP终于来二分图了..


  16. Lonelycorn — 2008-11-21 @ 08:35:26 Reply to this comment

    ………………………………囧rz


  17. sqybi — 2008-11-21 @ 08:50:53 Reply to this comment

    @Lonelycorn
    ...说实话 我看到您的名字Longlycorn...就想到了lolicon...


  18. xpycc — 2008-11-29 @ 09:24:34 Reply to this comment

    这位大牛不妨试试以下数据:
    1000
    2 3 4 5 ... 1000 1
    对于这组数据 MS 您的程序崩溃了……

    原因是这组数据中无向边的条数为 999*999 ,而您的内存只申请了 1002*2 。


  19. sqybi — 2008-11-29 @ 11:29:20 Reply to this comment

    @xpycc
    嗯...程序貌似是有bug的...
    而且判无解的地方貌似也有问题...


  20. xpycc — 2008-11-29 @ 12:27:49 Reply to this comment

    @sqybi
    判断无解的地方有什么问题我倒是没看出来,只是以前我记得 DFS 搜索如果用返回值的话会有莫名的问题,所以我一般使用另外的变量存储结果,而使用 void 函数。
    不知道是不是这个问题……


  21. sqybi — 2008-11-29 @ 13:34:48 Reply to this comment

    @xpycc
    dfs(adj[temp]); //DFS
    感觉这句应该改成if (! dfs(adj[temp])) return false;.......


  22. renqing — 2008-12-05 @ 21:17:17 Reply to this comment

    攒一下 这道题目当初我写了暴力DFS


  23. 吴豪 — 2008-12-09 @ 17:36:06 Reply to this comment

    @zch
    = =我看成xch了。。。


2 Trackbacks

  1. By sdyy1990's house on 2008-11-16 at 22:06:38

    FW: NOIP 2008 第四题 双栈排序(twostack) 题解, by sqybi...

    这可能是第一份正确的完整题解.
    这个帖子: http://www.oibh.org/bbs/thread-26983-1-2.html 是此算法的来源,但是帖子中说的不是很清楚,而且没有证明.题解中将把这些问题解决.
    十分感谢inzaghi250(sqybi注:还...

  2. By Coding MRain , Beta! on 2008-11-23 at 14:20:51

    NOIP2008 提高组复赛试题数据及个人题解...

    第一题 word
    题意简述:给出一个单词,统计其中出现最多的字母出现的次数maxn,以及出现最少的字母的次数minn,如果maxn-minn是质数的话则作为一个Lucky Word..否则即为No Answer.
    类型: 模拟水题....
    代码...

Post a Comment

走过路过不要错过! SQYBI.com最新启用了Mail to Commenter插件, 访客可以通过"@abc:"的形式回复abc的留言(也可以点击这条留言后的灰色箭头,此功能由@reply插件提供), abc会收到系统的邮件提醒! 赶快尝试一下吧~ (提示: 姓名区分大小写, abc和ABC是不同的)